Параллельные прямые. Визуальный гид (2026)

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с понятием "параллельные прямые", узнаете, как можно убедиться в параллельности прямых, а также, какими свойствами обладают углы, образованные параллельными прямыми и секущей.

Параллельные прямые

Вы знаете, что понятие "прямая" относится к числу так называемых неопределяемых понятий геометрии.

Вы уже знаете, что две прямые могут совпадать, то есть иметь все общие точки, могут пересекаться, то есть иметь одну общую точку. Пересекаются прямые под разными углами, при этом углом между прямыми считают наименьших из углов, которые ими образованы. Частным случаем пересечения можно считать случай перпендикулярности, когда угол, образованный прямыми, равен 90 0 .

Но две прямые могут и не иметь общих точек, то есть не пересекаться. Такие прямые называются параллельными .

Поработайте с электронным образовательным ресурсом " ".

Чтобы познакомиться с понятием "параллельные прямые", поработайте в материалами видеоурока

Таким образом, теперь вы знаете определение параллельных прямых.

Из материалов фрагмента видеоурока вы узнали о различных видах углов, которые образуются при пересечении двух прямых третьей.

Пары углов 1 и 4; 3 и 2 называют внутренними односторонними углами (они лежат между прямыми a и b ).

Пары углов 5 и 8; 7 и 6 называют внешними односторонними углами (они лежат вне прямых a и b ).

Пары углов 1 и 8; 3 и 6; 5 и 4; 7 и 2 называют односторонними углами при прямых a и b и секущей c . Как вы видите, из пары соответственных углов один лежит между прямым a и b , а другой вне их.

Признаки параллельности прямых

Очевидно, что пользуясь определением сделать вывод о параллельности двух прямых невозможно. Поэтому для того чтобы сделать заключение о том, что две прямые параллельны, пользуются признаками .

Один из них вы уже можете сформулировать, познакомившись с материалами первой части видеоурока:

Теорема 1 . Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются, то есть параллельны.

С другими признаками параллельности прямых на основе равенства определенных пар углов вы познакомитесь, поработав с материалами второй части видеоурока "Признаки параллельности прямых".

Таким образом, вы должны знать еще три признака параллельности прямых.

Теорема 2 (первый признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Еще раз повторите первый признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом " ".

Таким образом, при доказательстве первого признака параллельности прямых используется признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), а также признак параллельности прямых как перпендикулярных одной прямой.

Задание 1.

Запишите формулировку первого признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Теорема 3 (второй признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Еще раз повторите второй признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом " ".

При доказательстве второго признака параллельности прямых используется свойство вертикальных углов и первый признак параллельности прямых.

Задание 2.

Запишите формулировку второго признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Теорема 4 (третий признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Еще раз повторите третий признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом " ".

Таким образом, при доказательстве первого признака параллельности прямых используется свойство смежных углов и первый признак параллельности прямых.

Задание 3.

Запишите формулировку третьего признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Для того чтобы потренироваться в решении простейших задач, поработайте с материалами электронного образовательного ресурса " ".

Признаки параллельности прямых используются при решении задач.

Теперь рассмотрите примеры решения задач на признаки параллельности прямых, поработав с материалами видеоурока "Решение задач по теме "Признаки параллельности прямых".

А теперь проверьте себя, выполнив задания контрольного электронного образовательного ресурса " ".

Тот, кто хочет поработать с решением более сложных задач, может поработать с материалами видеоурока "Задачи на признаки параллельности прямых".

Свойства параллельных прямых

Параллельные прямые обладают набором свойств.

Вы узнаете, какие это свойства, поработав с материалами видеоурока "Свойства параллельных прямых".

Таким, образом, важным фактом, который вы должны знать, является аксиома параллельности.

Аксиома параллельности . Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую , параллельную данной, и притом только одну.

Как вы узнали из материалов видеоурока, опираясь на эту аксиому, можно сформулировать два следствия.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую параллельную прямую .

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Задание 4.

Запишите формулировку сформулированных следствий и их доказательства в свои тетради.

Свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущей являются теоремами, обратными соответствующим признакам.

Так, из материалов видеоурока вы узнали свойство накрест лежащих углов.

Теорема 5 (теорема , обратная первому признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Задание 5.

Еще раз повторите первое свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом " ".

Теорема 6 (теорема , обратная второму признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых соответственные углы равны.

Задание 6.

Запишите формулировку данной теоремы и ее доказательство в свои тетради.

Еще раз повторите второе свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом " ".

Теорема 7 (теорема , обратная третьему признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых сумма односторонних углов равна 180 0 .

Задание 7.

Запишите формулировку данной теоремы и ее доказательство в свои тетради.

Еще раз повторите третье свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом " ".

Все свойства параллельных прямых также используются при решении задач.

Рассмотрите типичные примеры решения задач, поработав с материалами видеоурока "Параллельные прямые и задачи на углы между ними и секущей".

§ 1. Признаки параллельности двух прямых - Геометрия 7 класс (Атанасян Л. С.)

Краткое описание:

О том, что такое параллельные прямые, вы узнаете в этом параграфе. Вы получите простое определение, но в то же время несколько необычное, - две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Другими словами, если две прямые не пересекаются, то они и будут параллельными. Или, если прямые не имеют точек пересечения, то они параллельны.
Необычность этого определения заключается в том, что если перед вами две прямые и вы не видите их точку пересечения, то это вовсе не значит, что ее нет. Это значит, что вы ее, возможно, просто не видите.
Поэтому это определение невозможно использовать напрямую для того, чтобы доказать, что две прямые являются параллельными. Ведь вы же не можете бесконечно следовать за продолжением прямых для того, чтобы убедиться в том, что они таки не пересекаются.
Но это и не нужно. Существуют признаки, по которым можно судить о параллельности прямых. Их три. В соответствие с каждым из них рассматривают особые углы или их комбинации, которые образуются при пересечении этих двух исследуемых прямых третьей прямой - секущей. По этим углам и судят о параллельности прямых.
Доказательства этих признаков - теоремы о параллельности прямых - основаны на теореме, которую вы уже рассматривали в 1 главе учебника, - две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются. Только теперь эта теорема выглядит иначе, - две прямые, перпендикулярные третьей, - параллельны.

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и ∠1 = ∠2. Возьмём точку О - середину отрезка КL секущей ЕF (рис.).

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ ⊥ МN. Докажем, что и СD ⊥ МN.

Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: ∠1 = ∠2 по условию теоремы; ОK = ОL - по построению;

∠МОL = ∠NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, ΔМОL = ΔNОК, а отсюда и ∠LМО = ∠КNО,
но ∠LМО прямой, значит, и ∠КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны, что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например ∠ 3 = ∠2 (рис.);

∠3 = ∠1, как углы вертикальные; значит, ∠2 будет равен ∠1. Но углы 2 и 1 - внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на рис. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (рис.).

Пусть ∠1 и ∠2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d .

Но ∠3 + ∠2 = 2d , как углы смежные. Следовательно, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Отсюда ∠1 = ∠3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2 d (или 180°), то эти две прямые параллельны.

Признаки параллельных прямых:

1. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

2.Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти две прямые параллельны.

4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

5. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Аксиома параллельности Евклида

Задача. Через точку М, взятую вне прямой АВ, провести прямую, параллельную прямой АВ.

Пользуясь доказанными теоремами о признаках параллельности прямых, можно эту задачу решить различными способами,

Решение. 1-й с п о с о б (черт. 199).

Проводим МN⊥АВ и через точку М проводим СD⊥МN;

получаем СD⊥МN и АВ⊥МN.

На основании теоремы ("Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.") заключаем, что СD || АВ.

2-й с п о с о б (черт. 200).

Проводим МК, пересекающую АВ под любым углом α, и через точку М проводим прямую ЕF, образующую с прямой МК угол ЕМК, равный углу α. На основании теоремы () заключаем, что ЕF || АВ.

Решив данную задачу, можем считать доказанным, что через любую точку М, взятую вне прямой АВ, можно провести прямую, ей параллельную. Возникает вопрос, сколько же прямых, параллельных данной прямой и проходящих через данную точку, может существовать?

Практика построений позволяет предполагать, что существует только одна такая прямая, так как при тщательно выполненном чертеже прямые, проведённые различными способами через одну и ту же точку параллельно одной и той же прямой, сливаются.

В теории ответ на поставленный вопрос даёт так называемая аксиома параллельности Евклида; она формулируется так:

Через точку, взятую вне дaнной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

На чертеже 201 через точку О проведена прямая СК, параллельная прямой АВ.

Всякая другая прямая, проходящая через точку О, уже не будет параллельна прямой АВ, а будет её пересекать.

Принятая Евклидом в его "Началах" аксиома, которая утверждает, что на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой, называется аксиомой параллельности Евклида .

Более двух тысячелетий после Евклида многие учёные-математики пытались доказать это математическое предложение, но всегда их попытки оказывались безуспешными. Только в 1826 г. великий русский учёный, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский доказал, что, используя все другие аксиомы Евклида, это математическое предложение доказать нельзя, что оно действительно должно быть принято за аксиому. Н. И. Лобачевский создал новую геометрию, которая в отличие от геометрии Евклида названа геометрией Лобачевского.

На плоскости прямые называются параллельными, если у них нет общих точек, то есть они не пересекаются. Для обозначения параллельности используют специальный значок || (параллельные прямые a || b).

Для прямых, лежащих в пространстве, требования отсутствия общих точек недостаточно - чтобы они в пространстве были параллельными, они должны принадлежать одной плоскости (иначе они будут скрещивающимися).

За примерами параллельных прямых далеко идти не надо, они сопровождают нас повсюду, в комнате - это линии пересечения стены с потолком и полом, на тетрадном листе - противоположные края и т.д.

Совершенно очевидно, что, имея параллельность двух прямых и третью прямую, параллельную одной из первых двух, она будет параллельна и второй.

Параллельные прямые на плоскости связаны утверждением, которое не доказывается с помощью аксиом планиметрии. Его принимают как факт, в качестве аксиомы: для любой точки на плоскости, не лежащей на прямой, существует единственная прямая, которая проходит через нее параллельно данной. Эту аксиому знает каждый шестиклассник.

Ее пространственное обобщение, то есть утверждение, что для любой точки в пространстве, не лежащей на прямой, существует единственная прямая, которая проходит через нее параллельно данной, легко доказывается с помощью уже известной нам аксиомы параллельности на плоскости.

Свойства параллельных прямых

• Если любая из параллельных двух прямых параллельна третьей, то они взаимно параллельны.

Этим свойством обладают параллельные прямые и на плоскости, и в пространстве.
В качестве примера рассмотрим его обоснование в стереометрии.

Допустим параллельность прямых b и с прямой a.

Случай, когда все прямые лежат в одной и той же плоскости оставим планиметрии.

Предположим, a и b принадлежат плоскости бетта, а гамма - плоскость, которой принадлежат a и с (по определению параллельности в пространстве прямые должны принадлежать одной плоскости).

Если допустить, что плоскости бетта и гамма различные и отметить на прямой b из плоскости бетта некую точку B, то плоскость, проведенная через точку B и прямую с должна пересечь плоскость бетта по прямой (обозначим ее b1).

Если бы полученная прямая b1 пересекала плоскость гамма, то, с одной стороны, точка пересечения должна была бы лежать на a, поскольку b1 принадлежит плоскости бетта, а с другой, она должна принадлежать и с, поскольку b1 принадлежит третьей плоскости.
Но ведь параллельные прямые a и с пересекаться не должны.

Таким образом, прямая b1 должна принадлежать плоскости бетта и при этом не иметь общих точек с a, следовательно, согласно аксиоме параллельности, она совпадает с b.
Мы получили совпадающую с прямой b прямую b1, которая принадлежит одной и той же плоскости с прямой с и при этом ее не пересекает, то есть b и с - параллельны

• Через точку, которая не лежит на заданной прямой, параллельная данной может проходить лишь одна единственная прямая.

• Лежащие на плоскости перпендикулярно третьей две прямые параллельны.

• При условии пересечения плоскости одной из параллельных двух прямых, эту же плоскость пересекает и вторая прямая.

• Соответствующие и накрест лежащие внутренние углы, образованные пересечением параллельных двух прямых третьей, равны, сумма у образовавшихся при этом внутренних односторонних равна 180°.

Верны и обратные утверждения, которые можно принять за признаки параллельности двух прямых.

Условие параллельности прямых

Сформулированные выше свойства и признаки представляют собой условия параллельности прямых, и их вполне можно доказать методами геометрии. Иначе говоря, для доказательства параллельности двух имеющихся прямых достаточно доказать их параллельность третьей прямой либо равенство углов, будь то соответствующих или накрест лежащих, и т.п.

Для доказательства в основном используют метод "от противного", то есть с допущения, что прямые непараллельны. Исходя из этого допущения, легко можно показать, что в этом случае нарушаются заданные условия, например, накрест лежащие внутренние углы оказываются неравными, что и доказывает некорректность сделанного допущения.

Материал из архива журнала Uleyrus. Цены, нормы и модели техники меняются: перед покупкой и работами сверяйтесь с инструкцией производителя и официальными источниками. Нашли ошибку - напишите на admin@uleyrus.cc.