Александр Болдачев. Локальная контрадикторность и парадокс брадобрея

Самым знаменитым из открытых уже в нашем веке парадоксов является антиномия, обнаруженная Б. Расселом. Идея носилась в воздухе, и ее опубликование произвело впечатление разорвавшейся бомбы. Этот парадокс вызвал в математике, по мнению Д. Гильберта, "эффект полной катастрофы". Нависла угроза над самыми простыми и важными логическими методами, самыми обыкновенными и полезными понятиями. Сразу же стало очевидным, что ни в логике, ни в математике за всю долгую историю их существования не было выработано решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения антиномии. Явно оказался необходимым отход от привычных способов мышления.

Парадокс Рассела в первоначальной его форме связан с понятием множества, или класса. Можно говорить о множествах различных объектов, например о множестве всех людей или о множестве натуральных чисел. Элементом первого множества будет всякий отдельный человек, элементом второго - каждое натуральное число. Допустимо также сами множества рассматривать как некоторые объекты и говорить о множествах множеств. Можно ввести даже такие понятия, как множество всех множеств или множество всех понятий. Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является оно своим собственным элементом или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем обычными. Например, множество всех людей не является человеком, так же как множество атомов - это не атом. Необычными будут множества, являющиеся собственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента. Очевидно, что каждое множество является либо обычным, либо необычным.

Рассмотрим теперь множество всех обычных множеств. Поскольку оно множество, о нем тоже можно спрашивать, обычное оно или необычное. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то согласно своему определению должно содержать само себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что наше множество представляет собой обычное множество, приводит, таким образом, к противоречию. Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также необычным: необычное множество содержит само себя в Качестве элемента, а элементами нашего множества являются только обычные множества. В итоге приходим к заключению, что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычным множеством.

Итак, множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Это явное противоречие.

Противоречие говорит о том, что такого множества просто не существует. Но почему оно не может существовать? Ведь оно состоит из объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, причем само условие не кажется каким-то исключительным или неясным. Если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие между возможными и невозможными множествами? Вывод о несуществовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делает наше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не способно породить какие-то новые парадоксы.

Парадокс Рассела замечателен своей крайней общностью. Для его построения не нужны какие-либо сложные технические понятия, как в случае некоторых других парадоксов, достаточно понятий "множества" и "элемента множества". Но эта простота как раз и говорит о его фундаментальности: он затрагивает самые глубокие основания наших рассуждений о множествах, поскольку говорит не о каких-то специальных случаях, а о множествах вообще.

Парадокс Рассела не имеет специфически математического характера. В нем используется понятие множества, но не затрагиваются какие-то особые, связанные именно с математикой его свойства. Это становится очевидным, если переформулировать парадокс в чисто логических терминах.

О каждом свойстве можно, по всей вероятности, спрашивать, приложимо оно к самому себе или нет. Свойство быть горячим, например, неприложимо к самому себе, поскольку само не является горячим; свойство быть конкретным тоже не относится к самому себе, ибо это абстрактное свойство. Но вот свойство быть абстрактным, являясь абстрактным, приложимо к самому себе. Назовем эти неприменимые к самим себе свойства неприложимыми. Применимо ли свойство быть неприложимым к самому себе? Оказывается, что неприложимость является неприложимой только в том случае, если она не является таковой. Это, конечно, парадоксально, Логическая, касающаяся свойств разновидность антиномии Рассела столь же парадоксальна, как и математическая, относящаяся к множествам, ее разновидность.

Б. Рассел предложил также следующий популярный вариант открытого им парадокса. "Брадобрей бреет всех тех и только тех жителей города, которые не бреются сами. Кто бреет брадобрея?" Парадокс брадобрея заключается в том, что, якобы, нельзя ответить на этот вопрос.

Чтобы понять ситуацию, разобьем жителей города на три группы. Это разбиение показано на левом рисунке: те, кто бреется самостоятельно, - сверху; те, кого бреют, - снизу; кто вообще не бреется (монахи, дети, женщины...) - вне эллипса.

Рассмотрим сначала действие условия (1). Пусть брадобрей бреет всех тех, которые не сами бреются, то есть всю нижнюю половину эллипса (штриховка отмечает клиентов брадобрея). Но условие (1) разрешает ему брить и того, кто сам бреется, то есть самого себя. Условие (1) разрешает ему расположиться в верхней половине эллипса, где жители сами бреются, и брить себя там. Это показано на среднем рисунке.

Если же действует условие (2), и брадобрей бреет только тех, которые не сами бреются, это означает, что он бреет часть нижней половины эллипса и не бреет себя, то есть не находится в верхней половине эллипса. Но жители из нижней половины могут быть побриты не брадобреем, а кем-то еще. И брадобрей может находиться среди этих людей (правый рисунок). Так что брадобрея может брить его приятель, а брадобрей будет брить заштрихованную часть нижней половины эллипса.

Но если действуют оба условия, (1) и (2), то брадобрею нет места в эллипсе. Он, значит, не бреется вообще. И тут нет никакого парадокса. Он, сталь быть, либо монах, либо робот, либо ребенок, либо женщина, либо не житель города... А если в городе нет никого, кроме бреющихся мужчин, и, стало быть, внешность эллипса пуста, то брадобрей, удовлетворяющий условиям (1) и (2), попросту не существует. Нелепо спрашивать в этом случае, кто его бреет. Множество таких брадобреев - пусто.

И тут мы заметим, что заданный вопрос, "Кто бреет брадобрея?", был некорректен с самого начала так же, как классический вопрос: "Зачем ты бьешь своего отца?" Прежде, чем спрашивать, кто бреет брадобрея, надо получить согласие, что его кто-то бреет.

Рассуждение о парикмахере может быть названо псевдопарадоксом. По своему ходу оно строго аналогично парадоксу Рассела и этим интересно. Но оно все-таки не является подлинным парадоксом.

Другой пример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение о каталоге.

Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя? Нетрудно показать, что идея создания такого каталога неосуществима; он просто не может существовать, поскольку должен одновременно и включать ссылку на себя и не включать. Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс.

Допустим, что в какой-то момент был составлен каталог, скажем К1 включающий все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием K1 появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то очевидно, что K1 не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов - самого себя. Включив в K1 это упоминание о нем самом, получим каталог К2. В нем упоминается К1 но не сам К2. Добавив к К2 такое упоминание, получим К3, который опять-таки неполон из-за того, что не упоминает самого себя. И так далее без конца.

Брадобрей, получив приказ, сначала обрадовался, потому что многие солдаты умели бриться сами, побрил тех, кто бриться сам не умел, а потом сел на пенек и задумался: а что ему с собой-то делать? Ведь если он будет брить себя, то нарушит приказ командира не брить тех, кто бреется сам. Брадобрей уже решил было, что брить себя не будет. Но тут его осенила мысль, что если он сам себя брить не будет, то окажется, что он сам не бреется, и по приказу командира он должет все-таки себя побрить...

Что с ним стало, история умалчивает.

Причем же здесь теория множеств? А вот причем: командир пытался определить множество людей, которых брадобрею нужно брить, таким образом:

те и только те, кто не бреется сам.

Казалось бы, обычное множество, описывается несколькими русскими словами, чем оно хуже, например, множества

все ученики школы?

Но с этим множеством тут же возникает проблема: непонятно, принадлежит ли этому множеству брадобрей.

Вот другая версия этого парадокса.

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным , если оно обладает свойством, которое определяет. Например, прилагательное "русский" - рефлексивное, а прилагательное "английский" - нерефлексивное, прилагательное "трехсложный" - рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное "четырехсложный" - нерефлексивное (состоит из пяти слогов) . Вроде бы ничто не мешает нам определить множество

все рефлексивные прилагательные.

Но давайте рассмотрим прилагательное "нерефлексивный". Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное "нерефлексивный" не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Но как тогда быть с таким заклинанием:

верно либо утверждение, либо его отрицание?

(Это заклинание называется законом исключенного третьего; на нем, собственно, и основан метод от противного.)

Наконец, третья версия парадокса. Рассмотрим множество

Множества , такие что

Мы включаем во множество только те множества , которые принадлежат сами себе. Бывают же множества, которые содержат другие множества. Например, пусть

множеству принадлежат числа , а множеству - два элемента: множество и число . Возвращаясь к коробкам, это можно сказать так: одни коробки можно класть в другие коробки. (Оказывается, что в каждой такой последовательности вложенных коробок всегда конечное число элементов - этому есть глубокие причины.)

Рассмотренное множество - это своего рода "брадобрей". Если предположить, что , сразу приходим к выводу, что . Если же предположить, что - получаем, что .

Столкнувшись с этими парадоксами, создатели теории множеств осознали, что нельзя задавать множества произвольными словосочетаниями . После этого они стали бороться с парадоксами двумя способами.

Первый способ - способ Кантора, придумавшего "наивную теорию множеств", в которой запрещаются все действия и операции, ведущие к парадоксам. Идея в следующем: разрешается работать со множествами, которые " встречаются в природе", также разрешается работать со множествами, которые получаются из них разумными теоретико-множественными операциями. Пусть, например,

Множество учащихся школы,
= множество непрерывных функций

(эти множества "встречаются в природе"), из них можно получить объединение , пересечение . Можно даже умножить множество на множество : по определению

Множество пар, в которых первый элемент из первого множества, а второй - из второго. В нашем случае - это множество пар, в которых первый элемент - учащийся школы, а второй - какая-нибудь непрерывная функция.

Другой способ - аксиоматический. Этот способ преодоления парадоксов развивали Цермело и Френкель (система аксиом Цермело-Френкеля), Гедель и Бернайс (система аксиома Геделя-Бернайса). Согласно этой теории, множество - это нечто, удовлетворяющее аксиомам, например, следующим .

Записи аксиом дублируются на "языке кванторов". Вот значения используемых кванторов:
- для любого ;
- существует ;
- существует единственный ;
- является множеством;
- множество тех и только тех , которые удовлетворяют условию ;
- логическое "или";
- логическое "и".

1. Аксиома объемности . Множество определяется своими элементами: множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны.

2. Аксиома объединения . Объединение всех элементов множества есть множество.

3. Аксиома выделения . Для каждого множества и каждого условия существует множество

Подмножество элементов множества , удовлетворяющих условию .

Другими словами, мы не можем взять множество всех летающих крокодилов со всего мира или множество тех множеств, которые не содержат сами себя, а можем, взяв некоторое множество, выделить в нем "кусочек" - множество его элементов, удовлетворяющих некоторому условию.

4. Аксиома степени . Множество всех подмножеств данного множества есть множество.

5. Аксиома подстановки . Пусть - множество, а - произвольная формула. Тогда если для каждого существует и единственен , такой что истинно , то существует множество всех , для которых найдется , такой что истинно.

6. Аксиома фундирования . Не существует бесконечной последовательности вложенных множеств: каждая цепочка множеств

7. Аксиома бесконечности . Существуют бесконечные множества, т. е. такие множества , что равномощно .

8. Аксиома выбора . Еще одна очень сложная, но и очень очевидная аксиома - о ней позже.

Подробнее об аксиоматике теории множеств см. книгу .

Самым знаменитым из открытых уже в прошлом веке парадоксов является антиномия, обнаруженная Бертраном Расселом и сообщенная им в письме к Г. Ферге. Рассел открыл свой парадокс, относящийся к области логики и математики, в 1902г. Эту же антиномию обсуждали одновременно в Геттингене немецкие математики 3. Цермело (1871-- 1953) и Д. Гильберт. Идея носилась в воздухе, и ее опубликование произвело впечатление разорвавшейся бомбы Мирошниченко П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2000. - С. 512-514. . Этот парадокс вызвал в математике, по мнению Гильберта, эффект полной катастрофы. Нависла угроза над самыми простыми и важными логическими методами, самыми обыкновенными и полезными понятиями. Оказалось, что в теории множеств Кантора, которая с восторгом была принята большинством математиков, имеются странные противоречия, от которых невозможно, или, по крайней мере, очень трудно, избавиться. Парадокс Рассела особенно ярко выявил эти противоречия. Над его разрешением, так же, как и над разрешением других найденных парадоксов канторовской теории множеств, трудились самые выдающиеся математики тех лет. Сразу же стало очевидным, что ни в логике, ни в математике за всю долгую историю их существования не было выработано решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения антиномии. Явно оказался необходимым отход от привычных способов мышления. Но из какого места и в каком направлении? Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - гл. II, § 4.5.

Насколько радикальным должен был стать отказ от устоявшихся способов теоретизирования? С дальнейшим исследованием антиномии убеждение в необходимости принципиально нового подхода неуклонно росло. Спустя полвека после ее открытия специалисты по основаниям логики и математики Л. Френкель и И. Бар-Хиллел уже без всяких оговорок утверждали: "Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных (то есть имевших хождение до XX столетия) способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшихся, заведомо недостаточны для этой цели". Современный американский логик X. Карри писал немного позднее об этом парадоксе: "В терминах логики, известной в XIX в., положение просто не поддавалось объяснению, хотя, конечно, в наш образованный век могут найтись люди, которые увидят (или подумают, что увидят), в чем же состоит ошибка" Мирошниченко П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2000. - С. 512-514..

Парадокс Рассела в первоначальной его форме связан с понятием множества, или класса. Можно говорить о множествах различных объектов, например, о множестве всех людей или о множестве натуральных чисел. Элементом первого множества будет всякий отдельный человек, элементом второго -- каждое натуральное число. Допустимо также сами множества рассматривать как некоторые объекты и говорить о множествах множеств. Можно ввести даже такие понятия, как множество всех множеств или множество всех понятий. Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является оно своим собственным элементом или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем обычными. Например, множество всех людей не является человеком, так же как множество атомов -- это не атом. Необычными будут множества, являющиеся собственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента.

Поскольку оно множество, о нем тоже можно спрашивать, обычное оно или необычное. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, должно содержать само себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что наше множество представляет собой обычное множество, приводит, таким образом, к противоречию. Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также необычным: необычное множество содержит само себя в качестве элемента, а элементами нашего множества являются только обычные множества. В итоге приходим к заключению, что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычным множеством.

Итак, множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Это явное противоречие. И получено оно на основе самых правдоподобных предположений и с помощью бесспорных как будто шагов. Противоречие говорит о том, что такого множества просто не существует. Но почему оно не может существовать? Ведь оно состоит из объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, причем само условие не кажется каким-то исключительным или неясным. Если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие между возможными и невозможными множествами? Вывод о не существовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делает наше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не способно породить какие-то новые парадоксы.

Парадокс Рассела замечателен своей крайней общностью Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - гл. II, § 4.5. . Для его построения не нужны какие-либо сложные технические понятия, как в случае некоторых других парадоксов, достаточно понятий "множество" и "элемент множества". Но эта простота как раз и говорит о его фундаментальности: он затрагивает самые глубокие основания наших рассуждений о множествах, поскольку говорит не о каких-то специальных случаях, а о множествах вообще.

Другие варианты парадокса Парадокс Рассела не имеет специфически математического характера. В нем используется понятие множества, но не затрагиваются какие-то особые, связанные именно с математикой его свойства.

Это становится очевидным, если переформулировать парадокс в чисто логических терминах. О каждом свойстве можно, по всей вероятности, спрашивать, приложимо оно к самому себе или нет. Свойство быть горячим, например, неприложимо к самому себе, поскольку само не является горячим; свойство быть конкретным тоже не относится к самому себе, ибо это абстрактное свойство. Но вот свойство быть абстрактным, являясь абстрактным, приложимо к самому себе.

Назовем эти неприменимые к самим себе свойства неприложимыми. Применимо ли свойство быть неприложимым к самому себе? Оказывается, не приложимость является неприложимой только в том случае, если она не является таковой. Это, конечно, парадоксально. Логическая, касающаяся свойств разновидность антиномии Рассела, столь же парадоксальна, как и математическая, относящаяся к множествам, ее разновидность.

Рассел предложил также следующий популярный вариант открытого им парадокса Катречко С.Л. Расселовский парадокс брадобрея и диалектика Платона-Аристотеля // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2002. - С. 239- 242.. Представим, что совет одной деревни так определил обязанности брадобрея: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот брадобрей бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.

Рассуждение о брадобрее опирается на допущение, что такой брадобрей существует. Полученное противоречие означает, что это допущение ложно, и нет такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами. Обязанности брадобрея не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что его не может быть, звучит несколько неожиданно. Но этот вывод не является все-таки парадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять деревенский брадобрей, на самом деле внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобного парикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой в ней нет человека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своего рождения Мирошниченко П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2000. - С. 512-514..

Рассуждение о брадобрее может быть названо псевдопарадоксом. По своему ходу оно строго аналогично парадоксу Рассела и этим интересно. Но оно все-таки не является подлинным парадоксом.

Другой пример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение о каталоге. Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя? Нетрудно показать, что идея создания такого каталога неосуществима; он просто не может существовать, поскольку должен одновременно и включать ссылку на себя и не включать.

Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс. Допустим, что в какой-то момент был составлен каталог, скажем К1, включающий, все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием К1 появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то очевидно, что К1 не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов -- самого себя. Включив в К1 это упоминание о нем самом, получим каталог К2. В нем упоминается К1, но не сам К2. Добавив к К2 такое упоминание, получим КЗ, который опять-таки не полон из-за того, что не упоминает самого себя. И далее без конца.

Можно упомянуть еще один логический парадокс -- "парадокс голландских мэров", сходный с парадоксом брадобрея. Каждый муниципалитет в Голландии должен иметь мэра, и два разных муниципалитета не могут иметь одного и того же мэра. Иногда оказывается, что мэр не проживает в своем муниципалитете. Допустим, что издан закон, согласно которому некоторая территория S выделяется исключительно для таких мэров, которые не живут в своих муниципалитетах, и предписывающий всем этим мэрам поселиться на этой территории. Допустим, далее, что этих мэров оказалось столько, что территория S сама образует отдельный муниципалитет. Где должен проживать мэр этого Особого Муниципалитета S? Простое рассуждение показывает, что если мэр Особого Муниципалитета проживает на территории S, то он не должен проживать там, и наоборот, если он не проживает на территории, то он как раз и должен жить на этой территории. То, что этот парадокс аналогичен парадоксу брадобрея, совершенно очевидно.

Рассел одним из первых предложил вариант решения "своего" парадокса. Предложенное им решение, получило название "теории типов": множество (класс) и его элементы относятся к различным логическим типам, тип множества выше типа его элементов, что устраняет парадокс Рассела (теория типов был использована Расселом и для решения знаменитого парадокса "Лжец"). Многие математики, однако, не приняли расселовское решение, считая, что оно накладывает слишком жесткие ограничения на математические утверждения Катречко С.Л. Расселовский парадокс брадобрея и диалектика Платона-Аристотеля // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2002. - С. 239- 242..

Аналогично обстоит дело и с другими логическими парадоксами. "Антиномии логики, -- пишет фон Вригт, -- озадачили с момента своего открытия и, вероятно, будут озадачивать нас всегда. Мы должны, я думаю, рассматривать их не столько как проблемы, ожидающие решения, сколько как неисчерпаемый сырой материал для размышления. Они важны, поскольку размышление о них затрагивает наиболее фундаментальные вопросы всей логики, а значит, и всего мышления" Вригт Г.Х. фон. Логика и философия в XX веке // Вопр. философии. 1992. № 8..

Понять, несостоятельность, данного "парадокса" брадобрея, можно на примере, взятого для этого, живого, человеческого тела. Представте, что каждый из каких-либо органов человеческого тела, и каждая из его при этом конечностей, являются при этом общим множеством всех множеств, а по отдельности, каждый из органов этого человеческого тела, и каждая из частей его конечностей, являются при этом подмножествами друг друга. В этом случае, если таковое, вышеописанное, при этом представить, становится ясным тот факт, исходя из которого, тот самый брадобрей, из "парадокса" брадобрея, связан со всем вселенским, присутствующим миром, в котором он при этом обитает, с ним вместе, воедино, и он не может при этом, быть полностью отделен от него, таким же в точности образом, каким не могут быть отделяемы при этом друг от друга, все органы живого человеческого тела, и его какие-либо конечности, для того, что бы данный живой человеческий организм, мог оставаться при этом таковым живым, и полноценно функцианирующим организмом, исходя из существующих законов науки, и при его обитании в этом вселенском мире, этот брадобрей тесно связан с этим вселеским миром, в одну с ним существующую общую конструкцию. И он этот брадобрей при этом, образует подмножество, с множеством множеств, присутствующих во всем мире вселенной. Исходя из чего, у этого брадобрея, всегда существует, возможный быть действенным шанс, исходя из которого он и неможет неуйти, в какой то момент, из того населенного пункта, в котором он при этом проживает, в другой какой-либо населенный пункт, и успеть быть в этом населенном пункте, куда он при этом и ушел, побритым находящимся в том населенном пункте, в точности похожим на него, не могущим брить при этом самого себя, брадобреем. И причем, его этот уход в этот населенный пункт, косвенно, является при этом его действием, и приведшим его к тому, что он и был, сам при этом побритым, подобным ему брадобреем, и находящимся при этом в этом населенном пункте, в который он и пришел при этом, которого, этого другого брадобрея, этот пришедший туда брадобрей, конечно же и сам, так же может при этом побрить. Но так как, орудие, при помощи которого нужно быть побритым этому брадобрею, было отличным от его собственных при этом рук, то оно от этого, все равно, не перестанет являться таковым его орудием, и приведшим к тому, что он при этом, и стал быть таковым выбритым брадобреем. А посему это означает, что этот брадобрей, если не будет сам себя брить при этом своими руками, то он может при этом сделать это, при помощи какого-либо другого, существующего, имеющегося у него самого какого-либо способа, орудия, а значит он этим и побреет самого себя. Потому что он с другим, пришедшим к нему, из другого населенного пункта брадобреем, связан воедино, тем вселенским миром, в котором они вместе с ним при этом и проживают!!! Подобным же образом, разгадывается и "парадокс" теоремы Гёделя, о неполноте множества всех множеств!!! А посему, данный "парадокс" брадобрея, похож по его сути на ситуацию, исходя из которой, необходимо, встретившимся двум вместе людям, сварить при этом суп, в котором они оба вместе при этом нуждаются, но при этом у одного человека для этого, есть почти все необходимые нужные для варки продукты, кроме при этом воды, но у него при этом нет емкости нужной для этой варки супа, и очага, на котором можно было бы, производить при этом эту варку супа, а у другого, одного из двух этих человек, человека, при этом, напротив есть и вода, и очаг, и емкость, нужные для варки этого супа, но при этом у него, нет остальных продуктов, необходимых при этом, для варки этого супа. И тогда второй этот человек, дал первому этому человеку имеющиеся у него при этом, воду, очаг, и емкость, нужные для варки при этом этого супа, а первый же этот человек, дал второму этому человеку при этом, остальные, нужные для варки этого супа продукты, и тем самым они и смогли сварить вместе, нужный им обоим суп, который они вместе, и употребили при этом в их пищу... Так же, существует ещё и второй вариант правильного решения, разгадки, этого "парадокса брадобрея", исходя из которого, сам этот брадобрей так же сможет собственноручно себя побрить, не нарушив этим отданных ему мэром города приказаний! Вот этот второй вариант разгадки "парадокса брадобрея": брадобрей - либо бреет себя сам, тогда когда он сам себя бреет, либо же он не бреет себя сам, тогда когда он сам себя не бреет, потому как он не может сразу же и брить и не брить себя сам. По этой причине, для того что бы смочь начать брить себя самому, нужно не на словах а на деле, начать реальным, физическим образом это делать, а не начав же ещё себя самому брить в реальности - это и значит то, что не брить себя самому в этот самый момент, а значит тем самым и мочь попытаться начать себя самому брить, не нарушив этим первого приказания отданного ему мэром города (брить всех тех, и лишь только тех, которые не бреются сами). Тем самым доказывается возможность начала в реальности бритья себя самим, этого брадобрея, раз начать он может в реальности бриться, и само начало в реальности его этого бритья, начнёт происходить лишь в тот самый момент, когда он сможет сбрить на своей бороде, хотя бы микроскопическую часть от одного из множества волосков на ней, для начала бритья которой, он в реальности не нарушит первого приказания отданного ему мэром города (брить всех тех, и лишь только тех, которые не бреются сами), раз становиться тем брадобреем который бреет себя сам, он может не сразу, а лишь в момент сбривания хотя бы малой части от одного из волосков на его бороде, и нарушать второе приказание отданное ему мэром города (не брить всех тех которые бреются сами), поэтому он и не может этой его попыткой начала бритья себя самого, потому что логически верным: считается всякий новый раз не знание брадобреем для себя самого, может, сможет, он в каждый, новый будущий раз, мочь, и смочь, сам себя брить, и начать сам себя брить, или же он не не может и не сможет этого сделать, а незнающий полностью о себе самом брадобрей, на перёд, собственных его возможностей как в умении брить себя самого, так и наоборот не в умении брить себя самого, не может считаться по этой причине сразу же заранее, тем брадобреем, про которого известно то, что он сам себя бреет, и может, сможет, сам себя побрить! Когда же этот "незнающий сам себя" брадобрей, сбреет уже, хотя бы одну малую часть, от одного из волосков, на своей бороде, он только в этот момент, сумеет понять о себе то, что он смог сам себя всё таки брить, но он не нарушит этим в этот момент, второе приказание отданное ему мэром города (не брить всех тех которые бреются сами), раз он о себе, не знал, и никогда не знает наперёд, сможет он сам себя брить всегда в будущем, или же не сможет он этого делать, а это незнание им своих собственных будущих возможностей, и делает собой его брадобреем, не нарушившим это второе приказание мэра, исходя из которого, он не должен брить всех тех которые бреются сами, и поэтому поняв о себе самом то, что он начал брить себя сам, он в этот момент, просто соблюдая это второе правило, запрещающее ему брить всех тех которые бреются сами, остановится на мгновение в своём бритье себя самого, и перестанет брить себя сам этим, и тут же поняв то, что он обязан вновь начать исполнять первое отданное ему мэром приказание, а то есть, приказание о его обязанности бритья всех тех, и лишь только тех, которые не бреются сами, попытается начать, что бы его не нарушать, вновь брить себя сам, и далее эти циклы его то остановки в собственном бритье, то вновь начало этого бритья, будут продолжаться до тех пор, пока он полностью не сбреет всю свою бороду, тем самым он и сумеет сам собственноручно, сбрить полностью всю свою бороду, не нарушив приказания данные ему мэром города!!! В этом и состоит другой вариант разгадки этого "парадокса брадобрея"!!!

Парадокс Рассела (антиномия Рассела , также парадокс Рассела - Цермело ) - открытый в 1901 году Бертраном Расселом теоретико-множественный парадокс (антиномия), демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге , являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора . Был открыт ранее, но не опубликован Эрнстом Цермело .

На неформальном языке парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество "обычным", если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является "обычным", так как само множество - не человек. Примером "необычного" множества является множество всех множеств , так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом .

Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех "обычных" множеств, такое множество называется расселовским множеством . Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество "обычным" или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. Есть две возможности.

• С одной стороны, если оно "обычное", то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех "обычных" множеств. Но тогда оно не может быть "обычным", так как "обычные" множества - это те, которые себя не включают.
• Остаётся предположить, что это множество "необычное". Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из "обычных" множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это "обычное" множество.

В любом случае получается противоречие .

Энциклопедичный YouTube

Формулировка парадокса

Парадокс Рассела можно сформулировать в наивной теории множеств . Следовательно, наивная теория множеств является противоречивой . Противоречив фрагмент наивной теории множеств, который можно определить как теорию первого порядка с бинарным отношением принадлежности ∈ {\displaystyle \in } и схемой выделения : для каждой логической формулы с одной свободной переменной в наивной теории множеств есть аксиома

Эта схема аксиом говорит, что для всякого условия P (x) {\displaystyle P(x)} существует множество y , {\displaystyle y,} состоящее из тех x , {\displaystyle x,} которые удовлетворяют условию P (x) {\displaystyle P(x)} .

Этого оказывается достаточно, чтобы сформулировать парадокс Рассела следующим образом. Пусть P (x) {\displaystyle P(x)} есть формула x ∉ x . {\displaystyle x\notin x.} (То есть P (x) {\displaystyle P(x)} означает, что множество x {\displaystyle x} не содержит себя в качестве элемента, или, в нашей терминологии, является "обычным" множеством.) Тогда, по аксиоме выделения, найдётся множество y {\displaystyle y} (расселовское множество) такое, что

Так как это верно для любого x , {\displaystyle x,} то верно и для x = y . {\displaystyle x=y.} То есть

Из этого следует, что в наивной теории множеств выводится противоречие .

Парадокс не возник бы, если предположить, что расселовского множества не существует. Однако само такое предположение парадоксально: в канторовской теории множеств считается, что любое свойство определяет множество элементов, удовлетворяющих этому свойству. Так как свойство множества быть "обычным" выглядит корректно определённым, то должно существовать множество всех "обычных" множеств. Сейчас такая теория называется наивной теорией множеств .

Популярные версии парадокса

Существует несколько вариантов парадокса Рассела. В отличие от самого парадокса, они, как правило, не могут быть выражены на формальном языке .

Парадокс лжеца

Парадокс Рассела связан с известным ещё с античных времён парадоксом лжеца, который заключается в следующем вопросе. Дано высказывание:

Данное высказывание - ложно.

Истинно ли это высказывание или нет? Легко показать, что это высказывание не может быть ни истинным, ни ложным.

Рассел про этот парадокс писал :

Сам Рассел так объяснял парадокс лжеца. Чтобы говорить что-нибудь о высказываниях, надо сначала определить само понятие "высказывания", при этом не используя не определённых пока понятий. Таким образом, можно определить высказывания первого типа, которые ничего не говорят о высказываниях. Потом можно определить высказывания второго типа, которые говорят о высказываниях первого типа, и так далее. Высказывание же "данное высказывание - ложно" не попадает ни под одно из этих определений, и таким образом не имеет смысла .

Парадокс брадобрея

Рассел упоминает следующий вариант парадокса, сформулированный в виде загадки, которую ему кто-то подсказал .

Пусть в некой деревне живёт брадобрей, который бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их. Бреет ли брадобрей сам себя?

Любой ответ приводит к противоречию. Рассел замечает, что этот парадокс не эквивалентен его парадоксу и легко решается . Действительно, точно так же, как парадокс Рассела показывает, что не существует расселовского множества, парадокс брадобрея показывает, что такого брадобрея просто не существует. Разница состоит в том, что в несуществовании такого брадобрея ничего удивительного нет: не для любого свойства найдётся брадобрей, который бреет людей, обладающих этим свойством. Однако то, что не существует множества элементов, заданных некоторым вполне определённым свойством, противоречит наивному представлению о множествах и требует объяснения .

Вариант о каталогах

Наиболее близким по формулировке к парадоксу Рассела является следующий вариант его изложения :

Библиографические каталоги - это книги, которые описывают другие книги. Некоторые каталоги могут описывать другие каталоги. Некоторые каталоги могут описывать даже сами себя. Можно ли составить каталог всех каталогов, которые не описывают сами себя?

Парадокс возникает при попытке решить, должен ли этот каталог описывать сам себя. Несмотря на кажущуюся близость формулировок (это фактически парадокс Рассела, в котором вместо множеств используются каталоги), этот парадокс, так же, как и парадокс брадобрея, разрешается просто: такой каталог составить нельзя.

Парадокс Греллинга - Нельсона

Этот парадокс был сформулирован немецкими математиками Куртом Греллингом и Леонардом Нельсоном в 1908 году. Он фактически является переводом первоначального варианта парадокса Рассела, изложенного им в терминах логики предикатов (см. письмо к Фреге ), на нематематический язык.

Будем называть прилагательное рефлексивным , если это прилагательное обладает свойством, определяемым этим прилагательным. Например, прилагательные "русское", "многосложное" - обладают свойствами, которые они определяют (прилагательное "русское" является русским, а прилагательное "многосложное" является многосложным), поэтому они являются рефлексивными, а прилагательные "немецкое", "односложное" - являются нерефлексивными . Будет ли прилагательное "нерефлексивное" рефлексивным или нет?

Любой ответ приводит к противоречию . В отличие от парадокса брадобрея, решение этого парадокса не такое простое. Нельзя просто сказать, что такого прилагательного ("нерефлексивный") не существует, так как мы его только что определили. Парадокс возникает из-за того, что определение термина "нерефлексивный" некорректно само по себе. Определение этого термина зависит от значения прилагательного, к которому оно применяется. А так как слово "нерефлексивный" само является прилагательным в определении, возникает порочный круг .

История

Рассел, вероятно, открыл свой парадокс в мае или июне 1901 года . Согласно самому Расселу, он пытался найти ошибку в доказательстве Кантора того парадоксального факта (известного как парадокс Кантора), что не существует максимального кардинального числа (или же множества всех множеств). В результате Рассел получил более простой парадокс . Рассел сообщил свой парадокс другим логикам, в частности Уайтхеду и Пеано . В своём письме к Фреге 16 июня 1902 года он писал, что обнаружил противоречие в "Исчислении понятий " - книге Фреге, опубликованной в 1879 году. Он изложил свой парадокс в терминах логики, а потом в терминах теории множеств, используя определение Фреге для функции :

Я испытал трудности только в одном месте. Вы утверждаете (стр. 17), что функция может сама выступать в качестве неизвестного. Раньше я тоже так считал. Но теперь такой взгляд мне кажется сомнительным из-за следующего противоречия. Пусть w предикат: "быть предикатом, который не приложим к самому себе". Может ли w быть приложим к самому себе? Из любого ответа следует обратное. Следовательно, мы должны заключить, что w - не предикат. Аналогично не существует класса (как целого) тех классов, которые, взятые как целое, не принадлежат себе. Отсюда я заключаю, что иногда определённое множество не формирует целостного образования.

Оригинальный текст (нем.)

Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet .

Фреге получил письмо как раз в то время, когда завершил работу над вторым томом "Основных законов арифметики" (нем. Grundgesetze der Arithmetik ). У Фреге не было времени исправить свою теорию множеств. Он лишь добавил приложение ко второму тому с изложением и своим анализом парадокса, которое начиналось с знаменитого замечания:

Вряд ли с учёным может приключиться что-нибудь худшее, чем если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была завершена .

Оригинальный текст (нем.)

Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte .

которая говорила, что можно построить множество элементов, удовлетворяющих свойству P (x) , {\displaystyle P(x),} он предложил использовать следующую аксиому:

таким образом исключив возможность для множества быть элементом самого себя. Однако небольшая [какая? ] модификация парадокса Рассела доказывает, что и эта аксиома тоже приводит к противоречию .

Рассел опубликовал свой парадокс в своей книге "Принципы математики " в 1903 году .

Ниже приведены несколько из возможных подходов к построению системы аксиом, свободной от расселовских парадоксов.

Теория типов Рассела

Первым, кто предложил теорию, свободную от парадокса Рассела, был сам Рассел. Он разработал теорию типов, первая версия которой появилась в книге Рассела и Уайтхеда "Принципы математики " в 1903 году . В основе этой теории лежит следующая идея: простые объекты в этой теории имеют тип 0, множества простых объектов имеют тип 1, множества множеств простых объектов имеют тип 2 и так далее. Таким образом, ни одно множество не может иметь себя в качестве элемента. Ни множество всех множеств , ни расселовское множество не могут быть определены в этой теории. Аналогичная иерархия вводится для высказываний и свойств. Высказывания о простых объектах принадлежат типу 1, высказывания о свойствах высказываний типа 1 принадлежат типу 2 и так далее. В общем, функция по определению принадлежит типу более высокому, чем переменные, от которых она зависит. Такой подход позволяет избавиться не только от парадокса Рассела, но и многих других парадоксов, включая парадокс лжеца (), парадокс Греллинга - Нельсона, парадокс Бурали-Форти . Рассел и Уайтхед показали, как свести к аксиомам теории типов всю математику, в своём трёхтомном труде "Principia Mathematica ", выпущенном в 1910-1913 годах .

Однако такой подход встретил трудности. В частности, возникают проблемы при определении таких понятий, как точная верхняя грань для множеств вещественных чисел. По определению точная верхняя грань есть наименьшая из всех верхних граней. Следовательно, при определении точной верхней грани используется множество вещественных чисел. Значит, точная верхняя грань является объектом более высокого типа, чем вещественные числа. А значит, сама не является вещественным числом. Чтобы избежать этого, пришлось вводить так называемую аксиому сводимости . Из-за её произвольности аксиому сводимости отказывались принимать многие математики, да и сам Рассел называл её дефектом своей теории. Кроме того, теория оказалась очень сложной. В итоге она не получила широкого применения .

Теория множеств Цермело - Френкеля

Самым известным подходом к аксиоматизации математики является теория множеств Цермело - Френкеля (ZF), которая возникла как расширение теории Цермело (1908). В отличие от Рассела, Цермело сохранил логические принципы, а изменил только аксиомы теории множеств . Идея этого подхода заключается в том, что допускается использовать только множества, построенные из уже построенных множеств при помощи определённого набора аксиом . Так, например, одна из аксиом Цермело говорит, что можно построить множество всех подмножеств данного множества (аксиома булеана). Другая аксиома (схема выделения ) говорит, что из каждого множества можно выделить подмножество элементов, обладающих данным свойством. В этом состоит главное отличие теории множеств Цермело от наивной теории множеств: в наивной теории множеств можно рассмотреть множество всех элементов, обладающих данным свойством, а в теории множеств Цермело - только выделить подмножество из уже построенного множества. В теории множеств Цермело нельзя построить множество всех множеств . Таким образом и расселовское множество там построить нельзя .

Классы

Иногда в математике бывает полезно рассматривать все множества как единое целое, например, чтобы рассматривать совокупность всех групп . Для этого теория множеств может быть расширена понятием класса , как, например, в системе Неймана - Бернайса - Гёделя (NBG). В этой теории совокупность всех множеств является классом . Однако, этот класс не является множеством и не является элементом никакого класса, что позволяет избежать парадокса Рассела .

Более сильной системой, позволяющей брать кванторы по классам, а не только по множествам, является, например, теория множеств Морса - Келли (MK) . В этой теории основным понятием является понятие класса , а не множества . Множествами в этой теории считаются такие классы, которые сами являются элементами каких-то классов . В этой теории формула z ∈ { x: P (x) } {\displaystyle z\in \{x\colon P(x)\}} считается эквивалентной формуле

Так как ∃ y . z ∈ y {\displaystyle \exists y.z\in y} в этой теории значит, что класс z {\displaystyle z} является множеством , эту формулу надо понимать как то, что { x: P (x) } {\displaystyle \{x\colon P(x)\}} является классом всех множеств (а не классов) z {\displaystyle z} , таких что P (z) {\displaystyle P(z)} . Парадокс Рассела в этой теории разрешается тем, что не любой класс является множеством .

Можно пойти дальше и рассматривать совокупности классов - конгломераты , совокупности конгломератов и так далее .

Влияние на математику

Аксиоматизация математики

Парадокс Рассела, вместе с другими математическими антиномиями , открытыми в начале XX века, стимулировал пересмотр оснований математики, результатом которого явилось построение аксиоматических теорий для обоснования математики, некоторые из которых упомянуты выше.

Во всех построенных новых аксиоматических теориях парадоксы, известные к середине XX века (в том числе парадокс Рассела), были устранены . Однако доказать, что новые подобные парадоксы не могут быть обнаружены в будущем (в этом состоит проблема непротиворечивости построенных аксиоматических теорий), оказалось, в современном понимании этой задачи, невозможно (см. Теоремы Гёделя о неполноте).

Интуиционизм

Параллельно возникло новое течение в математике, называемое интуиционизмом , основателем которого является Л. Э. Я. Брауэр . Интуиционизм возник независимо от парадокса Рассела и других антиномий. Однако открытие антиномий в теории множеств усилило недоверие интуиционистов к логическим принципам и ускорило формирование интуиционизма . Основной тезис интуиционизма говорит, что для доказательства существования некоторого объекта необходимо предъявить способ его построения . Интуиционисты отвергают такие абстрактные понятия, как множество всех множеств. Интуиционизм отрицает закон исключенного третьего , впрочем, необходимо отметить, что закон исключенного третьего не нужен для вывода противоречия из антиномии Рассела или любой другой (в любой антиномии доказывается, что A {\displaystyle A} влечёт отрицание A {\displaystyle A} и отрицание A {\displaystyle A} влечёт A , {\displaystyle A,} однако из (A ⇒ ¬ A) & (¬ A ⇒ A) {\displaystyle (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A)} даже в интуиционисткой логике следует противоречие) . Стоит также отметить, что в более поздних аксиоматизациях интуиционисткой математики были обнаружены парадоксы, аналогичные расселовскому, как, например, парадокс Жирара в первоначальной формулировке Мартина-Лёфа .

Диагональный аргумент (самоприменимость)

Несмотря на то что рассуждения Рассела приводят к парадоксу, основная идея этого рассуждения часто используется в доказательстве математических теорем. Как было уже сказано выше, Рассел получил свой парадокс, анализируя доказательство Кантора о несуществовании наибольшего кардинального числа . Этот факт противоречит существованию множества всех множеств, так как его мощность должна быть максимальной. Тем не менее, по теореме Кантора , множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую мощность, чем само множество. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе ?! :

Пусть есть взаимнооднозначное соответствие , которое каждому элементу x {\displaystyle x} множества X {\displaystyle X} ставит в соответствие подмножество s x {\displaystyle s_{x}} множества X . {\displaystyle X.} Пусть d {\displaystyle d} будет множеством, состоящим из элементов x {\displaystyle x} таких, что x ∈ s x {\displaystyle x\in s_{x}} (диагональное множество ). Тогда дополнение этого множества s = d ¯ {\displaystyle s={\overline {d}}} не может быть ни одним из s x . {\displaystyle s_{x}.} А следовательно, соответствие было не взаимнооднозначным.

Кантор использовал диагональный аргумент при доказательстве несчётности действительных чисел в 1891 году. (Это не первое его доказательство несчётности действительных чисел, но наиболее простое) .

Связанные парадоксы

Самоприменимость используется во многих парадоксах, кроме рассмотренных выше:

• Парадокс всемогущества - средневековый вопрос: "Может ли всемогущий бог создать камень, который он сам не сможет поднять?"
• Парадокс Бурали-Форти (1897) - аналог парадокса Кантора для ординальных чисел .
• Парадокс Мириманова (1917) - обобщение парадокса Бурали-Форти для класса всех фундированных классов .
• Парадокс Ришара (1905) - семантический парадокс, показывающий важность разделения языка математики и метаматематики.
• Парадокс Берри (1906) - опубликованный Расселом упрощённый вариант парадокса Ришара.
• Парадокс Клини - Россера (1935) - формулировка парадокса Ришара в терминах λ-исчисления .
• Парадокс Карри (1941) - упрощение парадокса Клини - Россера.
• Парадокс Жирара (1972) - формулировка парадокса Бурали-Форти в терминах интуиционистской теории типов .
• - полушутливый парадокс, напоминающий парадокс Берри.

Примечания

1. Godehard Link (2004), One hundred years of Russell"s paradox , с. 350, ISBN 9783110174380 , .
2. Антиномия Рассела // Словарь по логике. Ивин А. А., Никифоров А. Л. - М.: Туманит, ВЛАДОС, 1997. - 384 с. - ISBN 5-691-00099-3 .
3. Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell"s Paradox // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 2014-01-01.
4. Антиномия - статья из Математической энциклопедии . А. Г. Драгалин
5. А. С. Герасимов. Курс математической логики и теории вычислимости . - Издание третье, исправленное и дополненное. - Санкт-Петербург: ЛЕМА, 2011. - С. 124-126. - 284 с.

Материал из архива журнала Uleyrus. Цены, нормы и модели техники меняются: перед покупкой и работами сверяйтесь с инструкцией производителя и официальными источниками. Нашли ошибку - напишите на admin@uleyrus.cc.